Bisakah Anda Menemukan Pil Anda?

Selamat datang di The Riddler. Setiap minggu, saya menawarkan masalah yang berkaitan dengan hal-hal yang kita sayangi di sini: matematika, logika, dan probabilitas. Dua teka-teki disajikan setiap minggu: Riddler Express untuk Anda yang menginginkan sesuatu yang kecil dan Riddler Classic untuk Anda yang menyukai gerakan teka-teki lambat. Kirimkan jawaban yang benar untuk keduanya, dan Anda mungkin akan mendapatkan shoutout di kolom berikutnya. Harap tunggu hingga Senin untuk membagikan jawaban Anda secara publik! Jika Anda membutuhkan petunjuk atau memiliki teka-teki favorit yang mengumpulkan debu di loteng Anda, temukan saya di twitter atau kirimi saya email.

Riddler Ekspres

Jika Anda pernah berpikir untuk membeli rumah, Anda mungkin akrab dengan apa yang disebut “Aturan 72”. Untuk kuantitas yang meningkat secara eksponensial, seperti bunga yang diperoleh dari pokok, Anda dapat menggunakan Aturan 72 untuk memperkirakan waktu penggandaan berdasarkan tingkat bunga. Misalnya, untuk tingkat bunga 4 persen — artinya pertumbuhan eksponensial adalah 1,04^tdengan t diukur dalam tahun — waktu penggandaan kira-kira 72 dibagi 4, atau 18 tahun.

Ternyata hanya ada satu tingkat bunga yang Aturan 72 memberitahu Anda akurat menggandakan waktu. Berapa tingkat bunga itu?

Kirimkan jawaban Anda

Riddler Klasik

Dari Dave Moran muncul teka-teki pil:

Saya telah diresepkan untuk minum 1,5 pil obat tertentu setiap hari selama 10 hari, jadi saya punya sebotol dengan 15 pil. Setiap pagi, saya mengambil dua pil dari botol secara acak.

Pada pagi pertama, ini dijamin menjadi dua pil penuh. Saya mengkonsumsi salah satunya, membagi yang lain menjadi dua menggunakan pisau presisi, mengkonsumsi setengah dari pil kedua itu, dan memasukkan setengah sisanya kembali ke dalam botol.

Pada pagi berikutnya ketika saya meminum dua pil, ada tiga kemungkinan:

• Saya mendapatkan dua pil penuh. Seperti pada pagi pertama, saya membagi satu dan menempatkan setengah yang tidak terpakai kembali ke dalam botol.
• Saya mendapatkan satu pil penuh dan satu pil setengah, keduanya saya konsumsi.
• Saya mendapatkan dua setengah pil. Dalam hal ini, saya mengambil pil lain secara acak. Jika setengah pil, maka saya mengkonsumsi ketiga bagiannya. Tetapi jika itu pil penuh, saya membaginya dan mengembalikan setengah yang tidak terpakai ke dalam botol.

Asumsikan bahwa setiap pil — apakah itu pil penuh atau setengah pil — memiliki kemungkinan yang sama untuk dikeluarkan dari botol.

Pada hari ke 10, saya kembali mengambil dua pil dan mengkonsumsinya. Terburu-buru, saya langsung membuang botol ke tempat sampah sebelum repot-repot memeriksa apakah saya baru saja mengonsumsi pil penuh atau setengah pil. Berapa kemungkinan saya mengambil dosis penuh, yang berarti saya tidak perlu menggali tempat sampah untuk mendapatkan setengah pil yang tersisa?

Kirimkan jawaban Anda

Solusi untuk Riddler Express minggu lalu

Selamat kepada Michael Goldwasser dari St. Louis, Missouri, pemenang Riddler Express minggu lalu.

Minggu lalu, Anda melihat heksomino, yang merupakan bentuk yang terbuat dari enam kotak identik yang tidak tumpang tindih yang dihubungkan oleh tepinya. Beberapa heksomino, seperti yang ditunjukkan di bawah ini, dapat didekomposisi menjadi larik tiga kotak lurus, larik dua kotak, dan larik satu kotak.

Berapa banyak heksomino berbeda yang dapat Anda temukan? tidak dapat didekomposisi menjadi array tiga, dua dan satu kotak? (Untuk tujuan teka-teki ini, dua heksomino dianggap setara jika mereka dapat diubah menjadi satu sama lain dengan rotasi dan/atau refleksi.)

Pertama-tama, ada berapa hexomino yang berbeda? Untungnya, penghitungan poliomino adalah masalah yang dipelajari dengan baik, dan jumlah setiap jenis poliomino adalah urutan OEIS. Secara khusus, ada 35 heksomino berbeda yang tidak dapat diubah menjadi satu sama lain dengan rotasi atau refleksi (disebut “heksomino bebas”).

Dari sana, sebagian besar pemecah masalah mengeluarkan spidol (atau ember cat digital) dan mewarnai 35 heksomino. Rohan Lewis mampu mengukir tiga susunan lurus setidaknya satu cara untuk 32 dari 35 heksomino, seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Itu berarti ada tiga hexomino yang tidak dapat diuraikan dengan cara ini.

Pemecah Tom Keith melangkah lebih jauh dan melihat berapa banyak poliomino bernomor segitiga lainnya yang tidak dapat diuraikan menjadi larik lurus 1, 2, 3, …, N kotak. Tom menemukan bahwa ketika ukuran poliomino meningkat, poliomino yang tidak dapat terurai mulai melebihi jumlah yang dapat diurai — dan dengan cepat.

Omong-omong, jumlah poliomino yang dapat didekomposisi dan tidak dapat didekomposisi terlihat seperti makanan ternak untuk satu atau dua urutan OEIS baru, jika ada orang di Riddler Nation yang ingin mengirimkannya …

Dan akhirnya, teriakan cepat untuk Jenny Mitchell, yang mengirimkan emoji persegi berwarna di bagian Tunjukkan Pekerjaan Anda pada formulir jawaban!

Solusi untuk Riddler Classic minggu lalu

Selamat kepada Steve Curry dari Albuquerque, New Mexico, pemenang Riddler Classic minggu lalu.

Minggu lalu, Anda terdampar di kasino dan perlu membeli tiket pulang. Biaya penerbangan $250, tetapi Anda hanya memiliki $100. Namun, seperti yang baru saja saya katakan, Anda berada di kasino! Tentunya, Anda bisa bertaruh hingga $250.

Kasino memiliki permainan tertentu yang disebut “Riddler’s Delight”, di mana Anda dapat mempertaruhkan sejumlah uang yang Anda miliki untuk jumlah uang yang lebih besar lagi. Anda bahkan dapat bertaruh jumlah pecahan, irasional, atau sangat kecil jika Anda menginginkannya.

Tangkapannya adalah bahwa kemungkinannya tidak menguntungkan Anda. Di Riddler’s Delight, kapan pun Anda bertaruh SEBUAH dolar dalam upaya untuk menang B dolar (dengan B > SEBUAH), kemungkinan Anda untuk menang bukanlah SEBUAH/B, yang Anda harapkan dari permainan yang adil. Sebaliknya, probabilitas Anda untuk menang selalu 10 persen lebih kecil, atau 0,9(SEBUAH/B).

Strategi taruhan mana yang akan memaksimalkan peluang Anda untuk pulang, dan berapa probabilitas itu?

Pendekatan pertama yang dicoba oleh banyak pembaca adalah mempertaruhkan semuanya sekaligus. Ketika peluang ditumpuk melawan Anda, ini seringkali merupakan strategi yang lebih masuk akal daripada bertaruh dalam jumlah yang lebih kecil, di mana kasino umumnya akan mengambil uang Anda berkat Hukum Angka Besar. Jika Anda mempertaruhkan semua $100 dalam upaya untuk memenangkan kembali $250, probabilitas keberhasilan Anda adalah 0,9(100/250), atau 36 persen. Tidak buruk! Tapi bisakah Anda melakukan yang lebih baik?

Alih-alih mempertaruhkan semuanya sekaligus, Anda malah bisa bertaruh setengah dari uang Anda, menghemat setengah lainnya jika Anda gagal. Jika Anda bertaruh $50, Anda hanya perlu memenangkan $200 (bukan $250), karena Anda memiliki $50 lagi yang disisihkan. Peluang Anda untuk memenangkan taruhan pertama ini adalah 0,9(50/200), atau 22,5 persen. Dan untuk sisa 77,5 persen dari waktu Anda kehilangan $50 itu, Anda dapat mencoba bertaruh $50 yang tersisa, yang memberi Anda $250 dengan probabilitas 0,9(50/250), atau 18 persen. Jika digabungkan, peluang Anda untuk menang adalah 0,225 + (0,775) (0,18), atau 36,45 persen, yang sedikit lebih besar dari peluang 36 persen yang Anda miliki dengan bertaruh semua $100.

Dari sana, beberapa pemecah masalah menyadari bahwa memecah taruhan yang lebih besar menjadi lebih kecil selalu meningkatkan peluang Anda. Itu berarti strategi optimal adalah batas membuat serangkaian taruhan yang sangat kecil untuk memenangkan $250 dikurangi berapa pun jumlah yang Anda miliki.

Solver Pradeep Niroula dari Kathmandu, Nepal, menghitung peluang Anda untuk menang jika Anda membuat rangkaian taruhan yang sangat kecil ini, masing-masing bernilai dolar. Pada Anda jdengan taruhan yang sangat kecil, Anda harus bertaruh 250−(100−j) untuk mencapai $250, yang berarti peluang Anda untuk menang adalah 0,9?/(250−(100− .)j)). Probabilitas Anda kekalahan kemudian 1 dikurangi kuantitas ini, dan mengalikan semua istilah ini bersama-sama (dari kapan j adalah 1 hingga 100/?) memberi Anda probabilitas total kegagalan. Dan mengurangi ini dari 1 lagi memberi Anda probabilitas Anda untuk menang. Akhirnya, mengambil limit saat menjadi nol mengungkapkan jawaban numerik, yang secara komputasi ditentukan oleh Pradeep 36,8554 persen.

Sementara itu, Emma Knight dan Shivam Sarodia mampu menyelesaikan limit tersebut secara analitis menggunakan kalkulus. Peluang tepat Anda untuk mengamankan penerbangan $250 itu adalah 1−(3/5)^9/10. Saya pikir itu agak memuaskan untuk melihat bagaimana setiap angka dari teka-teki (rasio $100 sampai $250 dan 10 persen serutan) muncul dalam ekspresi ini.

Akhirnya, pujian untuk Benjamin Dickman yang menyadari jawabannya adalah sekitar 0,368 dan menebaknya adalah 1/e, yang memang dibulatkan menjadi 0,368 dan kurang dari 1 persen dari jawaban yang benar! Tapi untuk sekali ini, jawabannya ada di sini bukan melibatkan e atau .

Ingin lebih banyak teka-teki?

Nah, beruntung bukan? Ada seluruh buku yang penuh dengan teka-teki terbaik dari kolom ini dan beberapa penggaruk kepala yang belum pernah dilihat sebelumnya. Ini disebut “The Riddler,” dan ada di toko sekarang!

Ingin mengirimkan teka-teki?

Email Zach Wissner-Gross di riddlercolumn@gmail.com.

KOREKSI (19 Agustus 2022, 11:39): Versi sebelumnya dari Riddler Express minggu ini memberikan formula yang salah untuk menggandakan waktu dengan tingkat bunga 4 persen. Ini adalah 1,04^tbukan e^1.04t.